ریاضیات مادر علوم

چگونه مسائل ریاضی را حل کنیم؟

چگونه مساله ریاضی را حل کنیم؟

جورج پولیا درسال 1995 توجه تمامی دست اندرکاران آموزش یادگیری را به چارچوبی که برای حل مساله ریاضی ارایه داده بود جلب کرد. مدل جورج پولیا برای حل مسایل ریاضی شامل چهار مرحله زیر است:

1) فهمیدن و درک مساله

2) تهیه طرحی برای حل مساله

3) اجرای طرح

4) بازنگری.

کسانی که مشغول حل مساله هستند می توانند مهارتهای فردی و استراتژیهای مناسب را در قالب این چارچوب فرا گیرند و دانش خود را توسعه دهند. البته باید توجه داشت که تمام اجزای این چارچوب در حال تعامل دایم با هم هستند. مثلأ ممکن است کسی در مرحله سوم متوجه شود که طرحی که تهیه کرده به نتیجه نخواهد رسید، یا موانعی در راه اجرای آن است. در نتیجه به مرحله اول و دوم بازگشته و با درک جدیدی که از مساله پیدا می کند، طرحی نو می ریزد و آن را به اجرا می گذارد. نکاتی چند برای هر کدام از مراحل چهارگانه بالا متذکر می شویم...

1) فهمیدن مساله:

در این مرحله، برای کسی که قصد حل مساله ای را دارد، باید پیش از هر چیز روشن شود که مساله از نوع "ثابت کردنی" است یا "پیدا کردنی". سپس فرد تشخیص دهد که اجزای مساله از جمله داده ها و مجهولات کدام ها هستند. در جهت دستیابی به این مهم نکات زیر را می توان در نظر گرفت:

v خواندن مساله به کرات

v مراجعه به منابع دیگر برای روشن ساختن معنی لغات و عبارات کلیدی

v بیان مساله با عبارات آشناتر

v رسم شکل

v مدلسازی مناسب با موقعیت مساله

v ارزیابی داده های مساله از جهت کافی بودن

v تعیین فرضیه های پنهان مساله اما مفید برای حل مساله.

2) تهیه طرحی مناسب برای حل مساله:

هنگامی که مساله خوب فهمیده درک شد ،میتوان برای آن طرحی مناسب تهیه کرد.با توجه به این مساله ممکن است از راههای مختلفی قابل حل باشد ،باید در مورد استراتژی هایی که مناسب تر به نظر میرسند ،کمک گرفت .به هر حال کسی که می خواهد مساله حل کن خوبی باشد ،باید توانایی تجدید نظر در طرح را –در صورت عدم کارایی استراتژی های اولیه خود –داشته باشد. چند نمونه از استراتژی هایی که ممکن است در طول حل مساله مورد استفاده واقع شوند ،از این قرارند،

v تهیه مدل،یعنی رسم الگوی مشابه یا رسم منحنی متناسب با موقعیت مساله؛

v تهیه جدول نظامدار،و منحنی های سازمان یافته؛

v الگویابی؛

v کار کردن بر عکس؛

v انتخاب نمادهای مناسب؛

v مشخص کردن اطلاعات داده شده مورد احتیاج و خواسته شده؛

v نوشتن یک معادله با یک فرمول؛

v تقسیم مساله به زیرمساله های مختلف و حل هر کدام از آنها؛

v استفاده از استدلال استنتاجی؛

v کنترل فرضیه های مستتر در صورت مساله ؛

v حدس یک جواب و آزمایش آ ن ؛

v حل مساله ساده ترو مرتبط با مساله داده شده؛

3)اجرای طرح:

بعد از آن که طرح مناسب برای حل مساله تهیه شد ؛ باید آن را مورد اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که طرح ممکن است او را به حل مساله رهنمون نکند ، بتوان طرح جدیدی را تهیه و به اجرا بگذارد .

شخص درگیر حل مساله ،در حالی که ناظر بر پیشرفت طرح است ،می تواند سوال هایی مانند سوال های زیر را از خود بپرسد:

v آیا طرحی که تهیه کرده ام ،مرا به حل مساله هدایت میکند؟

v آیا به طرح بدیلی نیاز دارم ؟ آیا لازم است که طرح فعلی را کنار گذاشته و طرح جدیدی تهیه نمایم؟

v آیا برای اجرای طرح خود ،به اطلاعات اضافه تر یا کمک دیگران نیاز دارم؟

v آیا دقت و تلاشم را برای ردیابی مراحل پیشرفت خود در حل مساله،مستند کرده ام؟

4)بازنگری:

پس از اتمام مرحله اجرا ،حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل اجرای طرح تهیه شده، داشته باشد و یک بررسی کلی در مورد مساله انجام دهد.

از جمله موردهای مهمی که در این مرحله باید در نظر گرفت ،یکی معنی دار بودن جواب مساله با توجه به سوال های طرح شده،و دیگری تعمیم پذیری مساله است.هم چنین ،شخص با بازنگری کلی می تواند کاربرد وسیع تراستراتژی های به کار گرفته شده را شناسایی کرده و راه حل های متفاوت حل مساله را مطالعه کند.

مراحل حل مساله باید به نحوی تدوین شوند تا هم حل مساله برای دیگران مشخص شود ،وهم این که شخص حل کننده مساله بتواند از طریق حل مساله با دیگران ارتباط برقرار کرده واز فرایند و نتیجه های حل مساله خود دفاع نماید . در این مرحله ،شخص حل کننده مساله میتواند سوال هایی مشابه نمونه های زیر را از خود بپرسد و سعی در یافتن جواب برای آن ها داشته باشد:

v آیا جواب من به اندازه کافی مستدل است؟

v در جریان حل مساله ،چه چیزی یاد گرفتم که قبلاً نمیدانستم؟

v چه نکاتی در این مساله هست که من میتوانم در مسایل دیگر نیز ،آن ها را تشخیص دهم؟

v آیا میتوانم مساله های مرتبط با این مساله حل شده را مطرح کرده و حل کنم؟

v آیا میتوانم حل مساله را برای دیگران توضیح داده ،مستند نموده یا تعمیم دهم؟

v آبا تمام راه حل های ممکن را یافته ام ؟ آیا مساله راه حل دیگری دارد؟

v آیا به جز استراتژی هایی که در اولین بررسی مرا به حل مساله رسانده اند استراتژی های دیگری را نیز امتحان کرده ام.

+ نوشته شده در پنجشنبه هشتم اردیبهشت ۱۳۹۰ ساعت ۱۲:۷ ق.ظ توسط حسین سلمانزاده(دوم شاهد) |

معمای انیشتین

آلبرت انيشتن اين معما را در قرن نوزدهم ميلادي نوشت، به گفته وي ۹۸% از مردم جهان نمي توانند اين معما را حل کنند! ۱) در خياباني، پنج خانه در پنج رنگ متفاوت وجود دارد. ۲) در هر يک از اين خانه ها يک نفر با مليتي متفاوت از ديگران زندگي مي کند. ۳) اين پنج صاحبخانه هر کدام نوشيدني متفاوت مي نوشند، سيگار متفاوت مي کشند و حيوان خانگي متفاوت نگهداري مي کنند. سئوال: کداميک از آنها در خانه، ماهي نگه مي دارد؟ راهنمايي: ۱) کبوتر در خانه قرمز زندگي مي کند. ۲) مرد سوئدي، يک سگ دارد. ۳) مرد دانمارکي چاي مي نوشد. ۴) خانه سبز رنگ در سمت چپ خانه سفيد قرار دارد. ۵) صاحبخانه خانه سبز، قهوه مي نوشد. ۶) شخصي که سيگار Pall Mall مي کشد پرنده پرورش مي دهد. ۷) صاحب خانه زرد، سيگار Dunhill مي کشد. ۸) مردي که در خانه وسطي زندگي ميکند، شير مي نوشد. ۹) مرد نروژي، در اولين خانه زندگي مي کند. ۱۰) مردي که سيگار Blends مي کشد در کنار مردي که گربه نگه مي دارد زندگي مي کند. ۱۱) مردي که اسب نگهداري مي کند، کنار مردي که سيگار Dunhill مي کشد زندگي مي کند. ۱۲) مردي که سيگار Blue Master مي کشد، آبجو مي نوشد. ۱۳) مرد آلماني سيگار Prince مي کشد. ۱۴) مرد نروژي کنار خانه آبي زندگي مي کند. ۱۵) مردي که سيگار Blends مي کشد همسايه اي دارد که آب مي نوشد.

+ نوشته شده در پنجشنبه بیستم آبان ۱۳۸۹ ساعت ۶:۳۱ ب.ظ توسط بهروز قیصری(دوم شاهد) |

مشخص کردن روزهای سال بدون استفاده از تقویم

در این قسمت میخواهم روشی را آموزش دهم که بتوانید بدون داشتن تقویم بفهمید روز مشخصی از سال چه روزی از هفته است

برای اینکار باید عدد روزهای هفته را بدانید .این عدد ها بصورت زیر است.

شنبه 0

یک شنبه 1

دو شنبه 2

سه شنبه 3

چهار شنبه 4

پنج شنبه 5

جمعه 6

هرسال نیز عددی دارد . عدد هرسال برابر عدد آخرین روز سال قبل از آن سال میباشد .بعنوان مثال اخرین روز سال ۱۳۸۸ شنبه است پس عدد سال ۱۳۸۹ برابر صفر می باشد.

برای محاسبه روز سال x را شماره ماه و h را روز ماه و a را عدد سال در نظر می گیریم .

با فرمول a + h +(x-1)3 برای شش ماه اول سال و با فرمول a + h + (x-5)2برای ششماه دوم سال عددی بدست می آوریم سپس عدد حاصل رابر عدد 7 تقسیم می کنیم باقیمانده این تقسیم عدد روز مورد نظر در هفته را مشخص می کند .

بعنوان مثال 16 خرداد 1389 : x=3 , h=16 ,a =0 چون در شش ماه اول سال میباشد پس

3(۱-۳)+16+0=22 وباقیمانده تقسیم 22 بر 7 برابر 1 میشود پس 16 خرداد 1389 روز یک شنبه است .

یا 13 ابان 1389 : x=8 , h=13 , a=0 چون ابان در شش ماه دوم سال میبا شد پس

2(۵-۸) +13 +0 =19 و باقیمانده تقسیم 19 بر 7 برابر 5 میباشد پس 13 ابان 1389 روز پنج شنبه میباشد .

+ نوشته شده در یکشنبه شانزدهم آبان ۱۳۸۹ ساعت ۶:۲۱ ب.ظ توسط بهروز قیصری(دوم شاهد) |

چند سوال ریاضی

۱-چه مدت برای اعلام ساعت ؟

در یک دهکده ی اروپایی، زنگ کلیسا در انتهای هر 60 دقیقه، زمان را با ضربات خود اعلام می کند و از ساعت یک بامداد تا 24 شب این کار را ادامه می دهد. مثلا برای اعلام ساعت 5 و زدن 5 ضربه ، 6 ثانیه زمان لازم است. و هم چنین ساعت 9 را با زدن 9 ضربه در مدت 12 ثانیه اعلام می کند. فرض کنیم زمان لازم برای زدن یک ضربه خیلی کوتاه است و می توان از آن صرف نظر نمود. بگویید با این زنگ کلیسا ، اعلام ساعت 18 چقدر طول می کشد ؟

۲- معادله‌ی زیر را در نظر بگیرید:

KYOTO + KYOTO + KYOTO = TOKYO

عدد n را طوری پیدا کنید که معادله‌ی بالا در پایه‌ی n برقرار باشد و هر کدام از حروف هم یک رقم در پایه‌ی n باشد. توجه کنید که حروف مختلف معرف رقم‌های مختلف است.

۳ - شش عدد صحیح مثبت چنان بیابید که مجموعشان با حاصل ضربشان برابر باشند.

۴- بین 50 تا 60 تخم مرغ در سبدی موجود است. اگر سه تا سه تا بشماریم، 2تا باقی می ماند. و اگر 5تا 5تا بشماریم، 4 عدد باقی می ماند. چند تخم مرغ در سبد داریم؟

۵- با هشت تا عدد هشت، عدد هزار را بدست آورید.

۶- شاه فرزند دوم خانواده ای است. احتمال اینکه فرزند اول دختر باشد چقدر است؟

۷- به دنبال ایجاد سوء تفاهمی بین پادشاه و وزیر زیرک ، شاه دستور می دهد وزیر را در طول هفته آینده ` در روزی که او نمی داند وی را در آن روز می کشند !` ، به قتل برسانند. وزیر پس از شنیدن این دستور ، کمی فکر می کند و سپس میگوید: شما هیچ روزی نمی توانید مرا بکشید!!! پادشاه از او میخواهد که شرح دهد طبق چه استدلالی جلادان نمیتوانند او را بکشند؟ اگر شما جای وزیر باهوش باشید چه پاسخی می دهید؟!!!

۸-یک مساله ی معروف:

دو عرب با هم مسافرت میکردند یکی از آنها ۵ قرص نان و دیگری ۳ قرص نان با خود داشت. عرب سومی به آنها پیوست .شب شد و همه با هم ۸ قرص نان را خوردند.عرب سوم ۸ درهم به ان دو عرب دیگر داد که بر سر تقسیم ان بین این دو اختلاف افتاد. آن که ۵ قرص نان داشت می گفت تقسیم باید به نسبت ۵ به ۳ انجام گیرد و دیگری می گفت باید به تساوی باشد.اختلافشان بالا گرفت و سرانجام از حضرت علی داوری خواستند .آن حضرت ۷ درهم را حق صاحب ۵ قرص نان و ۱درهم را حق صاحب ۳ قرص نان دانست!!!

به نظر شما داوری حضرت بر چه پایه ای بوده است؟

۹-پادشاهی می‌خواست نخست وزیرش را انتخاب کند. چهار اندیشمند بزرگ کشور فراخوانده شدند.

آنان را در اتاقی قرار دادند و پادشاه به آنان گفت که: «درب اتاق به روی شما بسته خواهد شد و قفل اتاق، قفلی معمولی نیست و با یک جدول ریاضی باز خواهد شد. تا زمانی که آن جدول را حل نکنید نخواهید توانست قفل را باز کنید. اگر بتوانید مسأله را حل کنید می‌توانید درب را باز کنید و بیرون بیایید».پادشاه بیرون رفت و درب را بست. سه تن از آن چهار مرد بلافاصله شروع به کار کردند. اعدادی روی قفل نوشته شده بود، آن اعداد را نوشتند و با آن اعداد، شروع به کار کردند. نفر چهارم فقط در گوشه‌ای نشسته بود. آن سه نفر فکر کردند که او دیوانه است. او با چشمان بسته در گوشه‌ای نشسته بود و کاری نمی‌کرد. پس از مدّتی برخاست، به طرف درب رفت، درب را هل داد، باز شد و بیرون رفت!آن سه تن پیوسته مشغول کار بودند. آنان حتی ندیدند که چه اتفاقی افتاد! که نفر چهارم از اتاق بیرون رفته است. وقتی پادشاه با این شخص به اتاق بازگشت، گفت: «کار را بس کنید. آزمون پایان یافته. من نخست وزیرم را انتخاب کردم». آنان نتوانستند باور کنند و پرسیدند: «چه اتفاقی افتاد؟ او کاری نمی‌کرد، او فقط در گوشه‌ای نشسته بود. او چگونه توانست مسأله را حل کند؟»

مرد چهارم گفت: «مسأله‌ای در کار نبود. من فقط نشستم و فکر کردم که نخستین سؤال و نکته‌ی اساسی این بود که آیا قفل بسته شده بود یا نه؟ لحظه‌ای که این احساس را کردم فقط در سکوت مراقبه کردم. کاملاً ساکت شدم و به خودم گفتم که از کجا شروع کنم؟ نخستین چیزی که هر انسان هوشمندی خواهد پرسید این است که آیا واقعاً مسأله‌ای وجود دارد یا خیر؟ اگر هست، چگونه می‌توان آن را حل کرد؟ اگر سعی کنی بدون جواب به سؤال اول، فقط در صدد حلّ آن برآیی، تا بی نهایت به قهقرا خواهی رفت؛ و هرگز از آن بیرون نخواهی رفت. پس من فقط رفتم که ببینم آیا درب، واقعاً قفل است یا نه و دیدم قفل باز است».

پادشاه گفت: «آری، مسأله اصلی همین بود. درب أصلاً قفل نبود. قفل باز بود. من منتظر بودم که یکی از شما پرسش واقعی را بپرسد و شما شروع به حل آن کردید؛ و در همین جا نکته را از دست دادید. اگر تمام عمرتان هم روی آن کار می‌کردید نمی‌توانستید آن را حل کنید. این مرد می‌داند که چگونه در یک موقعیت، هشیار باشد. پرسش درست را او مطرح کرد».

۱۰- مساله گاوهای نیوتن:

۳ گاو به مدت ۲ هفته علفهای ۲ چمنزار و هر انچه در این مدت در آن میروید رامیچرند.

۲ گاو به مدت ۴ هفته علفهای ۲ چمنزار و هر انچه در این مدت در آن میروید رامیچرند.

چندگاو به مدت۶ هفته علفهای۶ چمنزار و هر انچه در این مدت درآن میروید رامیچرند؟

۱۱-دهقانی تعدادی گوسفند برای فروش به شهر برد.

نصف آن ها را به اضافه نیم گوسفند به یک نفر فروخت.

نصف به اضافه نیم از گوسفند های باقی مانده را به نفر دوم فروخت.

و نصف به اضافه نیم از گوسفند های موجود را نیز به نفر سوم فروخت.

و با 3 گوسفند که باقی مانده بود به ده برگشت.

او چند گوسفند به شهر برده بود؟

+ نوشته شده در یکشنبه شانزدهم آبان ۱۳۸۹ ساعت ۶:۱۲ ب.ظ توسط بهروز قیصری(دوم شاهد) |

سوال و جواب امتحانات نهایی جبر و احتمال سوم ریاضی

سوال و جواب امتحانات نهایی درس جبر و احتمال سال سوم ریاضی مربوط به خرداد، شهریور و دی سال های 1388 و 1387 و دی 1386 خارج از کشور رو از نشانی زیر دریافت کنید:

سوال و جواب امتحان نهایی جبر و احتمال

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هفتم خرداد ۱۳۸۹ ساعت ۷:۲۱ ب.ظ توسط محمدمهدی کاظمی(اول امام صادق) |